Question

在平面直角坐标系xoy中，o为坐标原点，A(sinωx，cosωx)，B(cos

π

6

，sin

π

6

)，ω＞0．
（1）求证：向量

OA

+

OB

与

OA

-

OB

互相垂直；
（2）设函数f(x)=λ

OA

•

OB

(x∈R，λ为正实数），函数f（x）的图象上的最高点和相邻的最低点之间的距离为

5

，且f（x）的最大值为1，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算可求得（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=0，从而可证

OA

+

OB

与

OA

-

OB

互相垂直；
（2）易求f（x）=λ

OA

•

OB

=λsin（ωx+

π

6

），依题意，λ=1，(

T

2

)2+[1-（-1）]²=(

5

)2，从而可求得T，继而可得ω，于是知f（x）=sin（πx+

π

6

），利用正弦函数的单调性即可求得
f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）∵

OA

=（sinωx，cosωx），

OB

=（cos

π

6

，sin

π

6

），
∴|

OA

|=1，|

OB

|=1，
∴（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=|

OA

|2-|

OB

|2=0，
∴

OA

+

OB

与

OA

-

OB

互相垂直；
（2）∵f（x）=λ

OA

•

OB

=λ（sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

）=λsin（ωx+

π

6

），
∵f（x）的最大值为1，
∴λ=1．
设f（x）的最小正周期为T，
由条件知，(

T

2

)2+[1-（-1）]²=(

5

)2，
∴

T

2

=

( 5 )2-22

=1，T=2，ω=

2π

T

=π，
∴f（x）=sin（πx+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤πx+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
则2k-

2

3

≤x≤2k+

1

3

（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间为[2k-

2

3

，2k+

1

3

]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查向量的数量积的坐标运算与正弦函数的单调性，求f（x）=λsin（ωx+

π

6

）的周期是难点，属于难题．