Question

已知a₁=1，当n＞1时a_n＞a₁，（n-3）（a_n）²+3a_n=（n-1）[a（n-1）]²+1（n≥2，n∈N^*），求a_n的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由递推公式求得a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，由此猜想a_n=n．再利用数学归纳法进行证明即可．

解答： 解：∵a₁=1，当n＞1时a_n＞a₁，
（n-3）（a_n）²+3a_n=（n-1）[a（n-1）]²+1（n≥2，n∈N^*），
∴-a22+3a₂=1+1=2，解得a₂=2，或a₂=1（舍），
3a₃=2×2²+1=9，解得a₃=3，
a42+3a4=3×3²+1=28，解得a₄=4，或a₄=-7（舍），
由此猜想a_n=n．
下面利用数学归纳法证明：
①a₁=1，成立；
②假设n=k时成立，即a_k=k，
则当n=k+1时，
（k+1-3）a_k+1²+3a_k+1=（k+1-1）（a_k）²+1，
∴（k-2）a_k+1²+3a_k+1-k³-1=0，
解得a_k+1=k+1，或a_k+1=-

k2-k+1

k-2

（舍），
故a_k+1=k+1，即n=k+1时成立，
由①②，得a_n=n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式和数学归纳法的合理运用．