Question

如图所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，点P为棱D₁D的中点，且∠EOD=45°，AA₁=2a，AB=a．
（1）Q是BB₁上一点，且BQ=

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 a，求证：DQ⊥平面EAC；
（2）试判断BP是否平行于平面EAC，并说明理由；
（3）若点M在侧面BB₁C₁C及其边界上运动，并且总保持AM⊥BP，试确定动点M所在位置．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）充分利用正四棱锥的性质可以证明AC⊥平面BD₁．再利用线面垂直的性质 得到AC⊥DQ，进一步得到所证；
（2）BP不平行于平面EAC．利用反证法证明．
（3）取BB₁中点G，连接CG，则M∈CG．由（1）知BP⊥AC，又取AA₁、CC₁中点R、S，连接PR、RG、GS、SP．
易证CG⊥平面BSP．得到CG⊥BP．于是BP⊥平面ACG．∴M∈CG

解答： （1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，
∴AC⊥BD且AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面BD₁．
又DQ⊆平面BD₁，
∴AC⊥DQ．
又在Rt△EDO中，∠EOD=45°，OD=

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a，
∴DE=

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a．
又BQ=

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 a=BD，可得DQ⊥OE，
∴DQ⊥平面EAC．--------（4分）
（2）解：BP不平行于平面EAC．理由如下：
若BP∥平面EAC，又BP⊆DPB，平面DPB∩平面EAC=OE，∴BP∥OE．
又O为BD中点，则E为DP中点，这与DP=a，DE=

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a矛盾，------------（9分）
（3）如图，取BB₁中点G，连接CG，则M∈CG．
证明如下：
由（1）知BP⊥AC，又取AA₁、CC₁中点R、S，连接PR、RG、GS、SP．
可知ABCD-RGSP为正方体，易证CG⊥平面BSP．
∴CG⊥BP．
则BP⊥平面ACG．∴M∈CG．---------（14分）

点评：本题考查了线面平行和垂直的判定定理和性质定理的运用，关键是将所证转化为线线问题解答，体现了转化的数学思想．