Question

已知直线l：3x-y-1=0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）试在l上求一点P，使|AP|+|CP|最小，并求这个最小值；
（2）试在l上求一点Q，使||AQ|-|BQ||最大，并求这个最大值．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：直线与圆

分析：（1）求出C关于直线的对称点C′的坐标，求出直线AC′的方程，通过求解方程组，即可在l上求一点P，使|AP|+|CP|最小；
（2）求出B关于直线的对称点B′的坐标，求出直线AC′的方程，通过求解方程组，即在l上求一点Q，使||AQ|-|BQ||最大．

解答： 解：（1）设C关于直线的对称点C′的坐标（a，b），
则

3× 2+a 2 - b 2 =0 b a-2 ×3=-1

，解得a=-1，b=1，即C′（-1，1），
则AC′的直线方程为：y=1，联立

3x-y-1=0 y=1

，解得x=

2

3

，y=1，
即交点为P（

2

3

，1），此时|AP|+|CP|最小，最小为|AC′|=4+1=5；
（2）设B关于直线的对称点B′的坐标（a，b），则

3× a 2 - 4+b 2 -1=0 b-4 a-0 ×3=-1

，解得a=3，b=3，解得B′（3，3），
直线AB′的方程为

y-3

x-3

=

3-1

3-4

，即2x+y-9=0，
联立

2x+y-9=0 3x-y-1=0

，解得

x=2 y=5

，即Q（2，5），
由对称性知，|BQ|=B′Q|，|AQ|-|BQ|=|AQ|-|B′Q|≤|AB′|（当且仅当Q、B′、A三点共线时取“=”），
∴l上的点Q（2，5），是使||AQ|-|BQ||最大的点．
此时最大值为|AB′|=

(4-3)2+(1-3)2

=

5

；

点评：本题考查直线关于直线，点关于直线对称点的求法，两点两点距离之和与差的最值问题，考查计算能力．