Question

若双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[

2 3

3

，

2

]，则双曲线C的两条渐近线夹角的取值范围为（　　）

• A、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• B、[

  π

  4

  ，

  π

  3

  ]
• C、[

  π

  6

  ，

  π

  4

  ]
• D、[

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用离心率公式，a，b，c的关系，求得

3

3

≤

b

a

≤1，求出双曲线的渐近线方程，再由两直线的夹角公式，令

b

a

=t，

1

t

-t在[

3

3

，1]上递减，求出夹角正切的范围，再由夹角的范围，即可得到．

解答： 解：由于离心率e∈[

2 3

3

，

2

]，
即有

2 3

3

≤

c

a

≤

2

，即

4

3

≤

c2

a2

=

a2+b2

a2

≤2，
即有

3

3

≤

b

a

≤1，
由于双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，
则它们的夹角的正切为|

b a -(- b a )

1- b2 a2

|=

2b a

1- b2 a2

，
令

b

a

=t，即有

3

3

≤t≤1，
上式即为

2t

1-t2

=

2

1 t -t

，而

1

t

-t在[

3

3

，1]上递减，
即有

2 3

3

≤

1

t

-t≤0，
则渐近线夹角的正切的范围为[

3

，+∞），
即有夹角的范围是[

π

3

，

π

2

]．
故选A．

点评：本题考查双曲线的性质：离心率和渐近线，考查两直线的夹角公式，以及函数的单调性和运用，考查运算能力，属于中档题．