Question

已知函数f（x）=b+（1-2a）x+x²-x³，讨论f（x）在其定义域上的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断函数的单调性．

解答： 解：f′（x）=（1-2a）+2x-3x²=-3x²+2x+（1-2a），
当△=16-24a≤0，即a≥

2

3

，f′（x）≤0恒成立，此时函数单调递减．
当△=16-24a＞0，即a＜

2

3

时，
令f′（x）=-3x²+2x+（1-2a）=0，解得x=

1+2 4-6a

3

，或x=

1-2 4-6a

3

，
当f′（x）＞0时，即

1-2 4-6a

3

＜x＜

1+2 4-6a

3

，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＜

1-2 4-6a

3

，或x＞

1+2 4-6a

3

，函数单调递减，
综上所述，当a≥

2

3

，函数f（x）在R上为减函数．
当a＜

2

3

时，函数f（x）在（

1-2 4-6a

3

，

1+2 4-6a

3

）为增函数，在（-∞，

1-2 4-6a

3

）和（

1+2 4-6a

3

，+∞）为减函数．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，注意讨论a的取值范围对函数导数的影响，属于中档题