Question

已知函数f（x）=lg（x²+ax+1）
（1）若f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）值域为R，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）值域为[-2，+∞），求实数a的值；
（4）若函数f（x）在区间（-∞，2]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）只需判别式小于0即可；
（2）只需真数取遍所有正数即可；
（3）值域为[-2，+∞），说明-2是函数值，依此可得真数的最小值，进一步列出方程求a；
（4）一是考虑原式有意义，二是考虑对称轴与2的关系．

解答： 解：（1）要使定义域为R，只需x²+ax+1＞0恒成立，所以判别式a²-4＜0，解得-2＜a＜2；
（2）要使值域为R，只需真数x²+ax+1取遍所有正实数，则应有a²-4≥0，解得a≥2或a≤-2．
（3）令t=x²+ax+1=（x+

a

2

）²+1-

a2

4

，因为原函数的值域为[-2，+∞），所以lg(1-

a2

4

)=-2，即1-

a2

4

=10-2，解得a=±

3 11

5

．
（4）由题意，要使原函数在（-∞，2]上递减，只需函数t=x²+ax+1在（-∞，2]上递减，且t（2）＞0，
即

- a 2 ≥2 4+2a+1＞0

，无解．

点评：本题考查复合函数的定义域、值域、单调性的求法，涉及到不等式恒成立的问题．属于基础题，难度不大．