Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AA₁上有一动点M，棱BD₁上有一动点N，当MN⊥AA₁时，棱长为a．问：线段MN的最小值为多少？

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：线段MN的最小值为异面直线AA₁与BD₁的距离．

解答： 解：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
A（a，0，0），A₁（a，0，a），B（a，a，0），D₁（0，0，a），

AA1

=(0，0，a)，

D1B

=(a，a，-a)，

AB

=(0，a，0)，
设

AA1

和

D1B

的公共法向量

n

=(x，y，z)，
∴

n • AA1 =az=0 n • D1B =ax+ay-az=0

，
取x=1，得

n

=(1，-1，0)，
∴异面直线AA₁与BD₁的距离d=

| AB • n |

| n |

=

2 a

2

．
∴线段MN的最小值为

2 a

2

．

点评：本题考查线段的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．