Question

定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2．当x∈[0，n），n∈N^*时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a_n，则
（1）a₃=

 

；       
（2）

an+97

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据[x]表示不超过x的最大整数，先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，进而得到a₃的值．
（2）由（1）用基本不等式并结合n为正整数，即可求出式子

an+97

n

的最小值．

解答： 解：（1）由题意可得[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) … n-1，x∈[n-1，n)

，∴x•[x]=

0  ，x∈[0 ，1) x ，x∈[1 ，2) … (n-1)x ，x∈[n-1 ，n)

，
∴[x•[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n-1，
∴a_n=1+1+2+…+（n-1）=

n2-n+2

2

，∴a₃=4；
（2）式子

an+97

n

=

n

2

+

98

n

-

1

2

≥13

1

2

，当且仅当n=7时，等号成立．
故当n=7时，式子

an+97

n

取得最小值13

1

2

．
故答案为：（1）4；（2）13

1

2

．

点评：本题主要通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，属于中档题．