题目内容
已知向量
=（sinA，sinB），
=（cosB，cosA），
•
=sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等差数列，且
•（
-
）=18，求c边的长及△ABC的面积．
| m |
| n |
| m |
| n |
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等差数列，且
| CA |
| AB |
| AC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：解三角形,平面向量及应用
分析：（1）利用数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式即可得出；
（2）利用等差数列的定义、正弦余弦定理、数量积运算即可得出．
（2）利用等差数列的定义、正弦余弦定理、数量积运算即可得出．
解答：
解：（1）
•
=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sin2C，
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∴cosC=
，
∵C∈（0，π），∴C=
．
（2）∵sinA，sinB，sinC成等差数列，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可知a+b=2c，
又∵
•（
-
）=18，
∴
•
=18，∴abcos
=18，即ab=36．
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab=4c2-108，
∴c2=36，解得c=6．
∴S△ABC=
absinC=
×36×
=9
．
| m |
| n |
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∴cosC=
| 1 |
| 2 |
∵C∈（0，π），∴C=
| π |
| 3 |
（2）∵sinA，sinB，sinC成等差数列，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可知a+b=2c，
又∵
| CA |
| AB |
| AC |
∴
| CA |
| CB |
| π |
| 3 |
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab=4c2-108，
∴c2=36，解得c=6．
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式、等差数列的定义、正弦余弦定理、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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