题目内容
已知三棱锥A-BCD中，侧棱长和底面边长均相等，E为侧棱AB的中点，求证：（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）要证明AB⊥平面CDE，只需要证AB⊥DE，AB⊥CE，由已知条件可得，
（2）由（1）得（1）知AB⊥平面CDE，AB?平面ABC，所以平面CDE⊥平面ABC．
（2）由（1）得（1）知AB⊥平面CDE，AB?平面ABC，所以平面CDE⊥平面ABC．
解答：
证明（1）∵三棱锥A--BCD中，侧棱长和底面边长均相等
∴△ADB，△ABC均为等边三角形
又E是AB的中点
∴AB⊥DE，AB⊥CE
∵DE?平面CDE，CE?平面CDE，CE∩DE=E，
∴AB⊥平面CDE
（2）又（1）知AB⊥平面CDE
∵AB?平面ABC
∴平面CDE⊥平面ABC
证明（1）∵三棱锥A--BCD中，侧棱长和底面边长均相等∴△ADB，△ABC均为等边三角形
又E是AB的中点
∴AB⊥DE，AB⊥CE
∵DE?平面CDE，CE?平面CDE，CE∩DE=E，
∴AB⊥平面CDE
（2）又（1）知AB⊥平面CDE
∵AB?平面ABC
∴平面CDE⊥平面ABC
点评：本题主要考察面面垂直和线面垂直的判定，关键是它们之间的转化，属于中档题．
练习册系列答案
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如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆PH，HA，HB，HC构成，其底端三点A，B，C均匀地固定在半径为3m的圆O上（圆O在地面上），P，H，O三点相异且共线，PO与地面垂直．现要求点P到地面的距离恰为3