Question

已知正三棱锥A-BCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，过B点作与则棱AC、AD相交的截面BEF，在这个截面三角形中，求：
（1）周长的最小值；
（2）周长最小时的截面面积．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）把正三棱锥A-BCD的侧面展开，两点间的连接线BB'即是截面周长的最小值．
（2）将该正三棱锥A-BCD沿AB边展开，得五边形ABCDB′，则AB=AC=AD=AB′=2a，BC=BD=DB′=a，直线BB′与AC、AD相交于E、F两点即为所求的最小周长时的两个点，由此能求出周长最小时的截面面积．

解答： 解：（1）把正三棱锥A-BCD的侧面展开，两点间的连接线BB'即是截面周长的最小值．
∵BB′∥CD，∴△ADB′∽△B′FD，∴

DF

DB′

=

DB′

AD

，
∵AD=2a，DB''=a．∴DF=

a

2

，
又△AEF∽△ACD，∴

EF

CD

=

AF

AD

，其中CD=a，AD=2a，AF=2a-

a

2

=

3a

2

，
∴EF=

3a

4

，
∴截面周长最小值是BB′=2a+

3

4

a=

11a

4

．
（2）将该正三棱锥A-BCD沿AB边展开
得五边形ABCDB′，则AB=AC=AD=AB′=2a，BC=BD=DB′=a
直线BB′与AC、AD相交于E、F两点即为所求的最小周长时的两个点
∵AB=AC=AD=AB′=2a，
∴BCDB′在以A为圆心2a为半径的圆上，
设角CAD=x，则sin（

x

2

）=

1

4

，cos（

x

2

）=

15

4

，
sinx=2×

1

4

×

15

4

=

15

8

，cosx=

7

8

，
则sin2x=2×

15

8

×

7

8

=

7 15

32

，cos2x=

17

32

，
sin（2x-

x

2

）=sin2xcos

x

2

-cos2xsin

x

2

=

7 15

32

×

15

4

-

17

32

×

1

4

=

11

16

，cos（

3x

2

）=

3 15

16

，
EF=2tan（

x

2

）[2acos（

3x

2

）]=2×

1

15

×

3a 15

8

=

3a

4

，
则BE=B′F=2asin（

3x

2

）-

EF

2

=2a×

11

16

-

3a

8

=a，
所求的三角形三边分别为a，a，

3a

4

，
cos∠EBF=

2a2-( 3a 4 )2

2a2

=

23

32

，sin∠EBF=

41

8

，
∴S_△BEF=2a²×

41

8

=

41 a2

4

．

点评：本题考查三角形周长的最小值的求法，考查周长最小时的截面面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．