Question

（理科）设数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n²-2na_n+2．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）先猜想出{a_n}的一个通项公式，再用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据a_n+1=a_n²-2na_n+2，利用递推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（2）总结出规律求出a_n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（1）由条件an+1=

a

2 n

-2nan+2，依次得a2=

a

2 1

-2a1+2=5，a3=

a

2 2

-4a2+2=7，a4=

a

2 3

-6a3+2=9，…（6分）
（2）由（1），猜想a_n=2n+1．…（7分）
下用数学归纳法证明之：
①当n=1时，a₁=3=2×1+1，猜想成立；        …（8分）
②假设当n=k时，猜想成立，即有a_k=2k+1，…（9分）
则当n=k+1时，有ak+1=

a

2 k

-2kak+2=ak(ak-2k)+2=(2k+1)•1+2=2(k+1)+1，
即当n=k+1时猜想也成立，…（13分）
综合①②知，数列{a_n}通项公式为a_n=2n+1．…（14分）

点评：本题考查数学归纳法，关键是证明n=k+1时，命题成立必须用上归纳假设，属于中档题．