Question

已知函数 f（x）=

m

2

x2+lnx-（m+1）x，m∈R．
（Ⅰ）求证：当m=-1时，f（x）≤-

1

2

；
（Ⅱ）讨论函数f（x）  的单调性；
（Ⅲ）当m≤0时，h（x）=sinx-xcosx-

1

3

x2+1，若任意x₁∈（0，π]，均存在x₂∈[0，π]使得f（x₁）＜h（x₂）成立，求出m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）研究函数在定义域内的最大值小于或等于-

1

2

即可，可利用导数研究其单调性求最值；
（2）求导，然后问题转化为一个一元二次不等式解法问题，注意分类讨论；
（3）由题意只需f（x）_max≤h（x）_max即可，然后再利用导数分别求两个函数最大值．

解答： 解：（1）当m=-1时，f（x）=-

1

2

x2+lnx，f′（x）=-x+

1

x

=

1-x2

x

；
 x∈（0，1），f′（x）＞0；x∈（1，+∞），f′（x）＜0，所以f(x)max=f(1)=-

1

2

，所以f(x)≤-

1

2

．
（2）f(x)=

m

2

x2+lnx-(m+1)x，f′(x)=mx+

1

x

-(m+1)=

mx2-(m+1)x+1

x

；
令t=mx²-（m+1）x+1；
①当m＞1时，x∈(0，

1

m

)，t＞0；x∈(

1

m

，1)，t＜0；x∈（1，+∞），t＞0．
所以f（x）在x∈(0，

1

m

)递增，在（

1

m

，1）递减，在（1，+∞）递增．
②当m=1时，x∈（0，+∞），t≥0；所以f（x）在x∈（0，+∞）递增；
③当0＜m＜1时，x∈(0，1)，t＞0；x∈(1，

1

m

)，t＜0；x∈(

1

m

，+∞)，t＞0；
所以f（x）在（0，1）递增，在（1，

1

m

）递减，在（

1

m

，+∞）上递增；
④当m=0时，t=-x+1，x∈（0，1），t＞0；x∈（1，+∞），t＜0；
所以f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
⑤当m＜0时，x∈（0，1），t＞0；x∈（1，+∞），t＜0；f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
（3）若任意x₁∈（0，π]，均存在x₂∈[0，π]使得f（x₁）＜h（x₂）成立?f（x）_max＜h（x）_max．
当m≤0时，由（2）知道x∈（0，π]时，f（x） max=f(1)=-1-

m

2

．
h(x)=sinx-xcosx-

1

3

x3+1，h′（x）=cosx-（cosx-xsinx）-x²=x（sinx-x）．
构造g（x）=sinx-x，则g′（x）=cosx-1≤0，所以g（x）在[0，π]递减
所以g（x）=sinx-x≤g（0）=0，而x＞0所以h′（x）=x（sinx-x）≤0．
所以h（x）=sinx-xcosx-

1

3

x2+1在[0，π]递减，所以h（x）_max=h（0）=1．
所以，-1-

m

2

＜1，
解得m＞-4，所以m∈（-4，0]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性进一步求最值的思路，一般会将问题转化为不等式的解法问题，注意分类讨论．