Question

已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：BC⊥平面APC；
（2）若BC=3，AB=10，求三棱锥B-MDC的体积V_B-MDC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题

分析：（1）运用等边三角形的性质和中位线定理，证得AP⊥平面PBC，再由线面垂直的性质得，AP⊥BC，结合条件AC⊥BC，即可得证；
（2）运用V_M-BCD=V_B-MDC．由棱锥的体积公式，计算三角形BCD的面积和MD，即可得到．

解答： （1）证明：∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP，∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC；
（2）解：有V_M-BCD=V_B-MDC．
∵AB=10，∴MB=PB=5，
又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，
∴S△BDC=

1

2

S△PBC=

1

4

PC•BC=3．
又MD=

5 3

2

，∴VM-BCD=

1

3

MD•S△BDC=

5 3

2

．

点评：本题考查线面垂直的判定和性质，注意两个定理的运用，同时考查三棱锥的体积公式，注意顶点转换法的运用，考查运算能力，属于中档题．