Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n；且向量

a

=（n，S_n），

b

=（4，n+3）共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{

1

nan

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列与向量的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用向量

a

=（n，S_n），

b

=（4，n+3）共线．得到n（n+3）-4S_n=0，根据和与项的关系得解．
（2）由（1）求出

1

nan

=2（

1

n

-

1

n+1

），利用裂项求和的方法求出和T_n．

解答： 解：（1）∵

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共线，∴n（n+3）-4S_n=0，∴Sn=

n(n+3)

4

∴a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n+1

2

，又a1=1满足此式，
∴a_n=

n+1

2

；
（2）

1

nan

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

）+2（

1

2

-

1

3

）+…+2（

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

点评：求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．