Question

如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC=PA，E是PC的中点，F是PB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：EF⊥平面PAC；
（3）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）直接利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面ABC；
（2）通过证明BC⊥平面PAC，EF∥BC，即可证明EF⊥平面PAC；
（3）判断PA⊥平面ABC，求出底面面积以及高，即可求三棱锥B-PAC的体积．

解答： 证明：（1）在△PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF∥BC．
又BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC．

（2）因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．
因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC．
又PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC．
由（1）知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC．

（3）解：在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，所以AC=BC=

2

．
所以PA=

2

．
因为PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PA⊥AC．
所以S△PAC=

1

2

PA•AC=1．
由（2）知BC⊥平面PAC，所以VB-PAC=

1

3

S△PAC•BC=

2

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直直线与平面平行的判定定理，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．