Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；
（2）若锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，b=

6

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，再由正弦函数的最值，即可得到；
（2）由正弦定理和三角形的面积公式，计算即可得到．

解答： 解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x，
即f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴f(x)max=

2

．由2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，则x=kπ+

π

8

，k∈Z．
即x的取值集合为{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}；
（2）由（1）得f(

A

2

)=

2

sin(2•

A

2

+

π

4

)=

2

．
∵A是△ABC的内角，∴A=

π

4

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得

2

sin π 4

=

6

sinB

，
即sinB=

3

2

，得B=

π

3

，得C=

5π

12

．
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•2•

6

•

6 + 2

4

=

3+ 3

2

．

点评：本题考查三角函数的化简和求最值，考查正弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．