题目内容
如图，四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，BC1=B1C，（1）求证：平面DD1C1C⊥平面ABCD；
（2）设点E，F分别是棱AD，CC1中点，求证：EF∥平面C1AB．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：证明题,空间位置关系与距离
分析：（1）先证明BC⊥CD，又可证BC⊥CC1 且有CD∩CC1=C，BC?平面ABCD，从而有平面D1DCC1⊥平面AB⊥CD．
（2）取棱BC的中点G，连接EG，FG，可证EG∥平面C1AB，又GF∥平面C1AB，可得平面EF∥平面C1AB，又由EF?平面EFG，即可证明EF∥平面C1AB．
（2）取棱BC的中点G，连接EG，FG，可证EG∥平面C1AB，又GF∥平面C1AB，可得平面EF∥平面C1AB，又由EF?平面EFG，即可证明EF∥平面C1AB．
解答：
证明：（1）∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，BC⊥CD…1分
∴在棱柱AC1中，侧面BB1C1C为平行四边形，且BC1=B1C
∴四边形BB1C1C为矩形，∴BC⊥CC1 …3分
∵CD∩CC1=C，∴BC⊥平面D1DCC1…5分
∵BC?平面ABCD，
∴平面D1DCC1⊥平面AB⊥CD…7分
（2）取棱BC的中点G，连接EG，FG
∵梯形ABCD中，EG为中位线，
∴EG∥AB
∵EG?平面C1AB，
∴EG∥平面C1AB…9分
∵在△CC1B中，GF为中位线，∴GF∥BC1
又∵GF?平面C1AB，∴GF∥平面C1AB，…11分
∵EG∩GF=G，∴平面EF∥平面C1AB，…13分
又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面C1AB…14分
证明：（1）∵AB∥CD，∠ABC=90°，∴∠BCD=90°，BC⊥CD…1分
∴在棱柱AC1中，侧面BB1C1C为平行四边形，且BC1=B1C
∴四边形BB1C1C为矩形，∴BC⊥CC1 …3分
∵CD∩CC1=C，∴BC⊥平面D1DCC1…5分
∵BC?平面ABCD，
∴平面D1DCC1⊥平面AB⊥CD…7分
（2）取棱BC的中点G，连接EG，FG
∵梯形ABCD中，EG为中位线，
∴EG∥AB
∵EG?平面C1AB，
∴EG∥平面C1AB…9分
∵在△CC1B中，GF为中位线，∴GF∥BC1
又∵GF?平面C1AB，∴GF∥平面C1AB，…11分
∵EG∩GF=G，∴平面EF∥平面C1AB，…13分
又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面C1AB…14分
点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
习题精选系列答案
相关题目
集合A={x|y=x
}，B={y|y=log2x，x∈R}，则A∩B等于（ ）
| 1 |
| 2 |
| A、R | B、∅ |
| C、[0，+∞） | D、（0，+∞） |