Question

下列说法中：
①函数y=

6-x2

|x+3|-3

为奇函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③函数y=2 

1

x

的值域是（0，+∞）；
④若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（2^x）的定义域为[1，2]；
⑤函数y=lg（-x²+2x）的单调递增区间是（0，1]．
其中正确的序号是

 

．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：①判断函数y=f（x）是定义域上的奇函数；
②举例说明奇函数的图象不一定过直角坐标系的原点；
③求出函数y=2 

1

x

的值域；
④当函数f（2x）的定义域为[1，2]时，求出函数f（2^x）的定义域是什么；
⑤求出函数y=lg（-x²+2x）的单调增区间是什么．

解答： 解：对于①，∵函数y=f（x）=

6-x2

|x+3|-3

的定义域是（-

6

，0）∪（0，

6

），
任取x∈（-

6

，0），则f（x）=

6-x2

x+3-3

=

6-x2

x

，-x∈（0，

6

），
∴f（-x）=-f（x）；同理，x∈（0，

6

）f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数，①正确；
对于②，奇函数的图象不一定通过直角坐标系的原点，
如f（x）=

1

x

是减函数，但在原点处无意义，∴②错误；
对于③，∵x=0时，函数y=2

1

x

无意义，
∴函数y=2 

1

x

的值域是（0，1）∪（1，+∞），∴③错误；
对于④，当函数f（2x）的定义域为[1，2]时，2≤2x≤4，
即2≤2^x≤4，∴1≤x≤2，
即函数f（2^x）的定义域为[1，2]，④正确；
对于⑤，∵函数y=lg（-x²+2x）的定义域是（0，2），
且x∈（0，1]时，函数y是增函数，
∴函数y的单调增区间是（0，1]，⑤正确．
综上，正确的命题序号是①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查了通过命题真假的判断，考查了函数的奇偶性，单调性以及求函数的定义域、值域的问题，是综合题目．