Question

过抛物线y²=2px的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设直线AB的方程为：y=k(x-

p

2

)，则直线CD的方程为y=-

1

k

(x-

p

2

)．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），与抛物线的方程联立可得k2x2-(pk2+2p)x+

k2p2

4

=0，可得x₁+x₂=p+

2p

k2

，同理可得x3+x4=p+2pk2．|AB|+|CD|=x₁+x₂+x₃+x₄+2p，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：设直线AB的方程为：y=k(x-

p

2

)，则直线CD的方程为y=-

1

k

(x-

p

2

)．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
联立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，化为k2x2-(pk2+2p)x+

k2p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

pk2+2p

k2

=p+

2p

k2

，
同理可得x3+x4=p+2pk2．
∴|AB|+|CD|=x₁+x₂+x₃+x₄+2p=p+

2p

k2

+p+2pk²+2p=2p(k2+

1

k2

)+4p≥2p•2

k2• 1 k2

+4p=8p，
当且仅当k=±1时取等号．
∴|AB|+|CD|的最小值为8p．

点评：本题考查了焦点弦长公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．