题目内容
知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过原点与x轴不重合的直线与椭圆交于A，B二点，且|AF|+|BF|=2
，|AB|的最小值为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆x2+y2=
的任意一条切线l与椭圆E相交于P，Q两点，
•
是否为定值？若是，求这个定值；若不是，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆x2+y2=
| 2 |
| 3 |
| OP |
| OQ |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知得2a=2
，2b=2，由此能求出椭圆E的方程．
（2）当l的斜率不存在时，
•
=0．当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，3m2-2k2-2=0，把y=kx+m代入
+y2=1，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出
•
=xPxQ+yPyQ=
0，从而求出
•
为定值0．
| 2 |
（2）当l的斜率不存在时，
| OP |
| OQ |
| x2 |
| 2 |
| OP |
| OQ |
| 3m2-2k2-2 |
| 1+2k2 |
| OP |
| OQ |
解答：
解：（1）由|AF|+|BF|=2a=2
，得a=
，
由|AB|的最小值为2，得2b=2，解得b=1，
∴椭圆E的方程为：
+y2=1．
（2）①当l的斜率不存在时，l的方程为x=
或x=-
，
∴P（
，
），Q（
，-
）或P（-
，
），Q（-
，-
），
∴
•
=0．
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
则满足：
=
，即3m2-2k2-2=0，
把y=kx+m代入
+y2=1，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
xP+xQ=-
，xPxQ=
，
yPyQ=（kxP+m）（kxQ+m）=
，
∴
•
=xPxQ+yPyQ=
，
由3m2-2k2-2=0，知
•
=0，
综合①②可知
•
为定值0．
| 2 |
| 2 |
由|AB|的最小值为2，得2b=2，解得b=1，
∴椭圆E的方程为：
| x2 |
| 2 |
（2）①当l的斜率不存在时，l的方程为x=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴P（
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴
| OP |
| OQ |
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
则满足：
| |m| | ||
|
| ||
| 3 |
把y=kx+m代入
| x2 |
| 2 |
xP+xQ=-
| 4km |
| 1+2k2 |
| 2m2-2 |
| 1+2k2 |
yPyQ=（kxP+m）（kxQ+m）=
| m2-2k2 |
| 1+2k2 |
∴
| OP |
| OQ |
| 3m2-2k2-2 |
| 1+2k2 |
由3m2-2k2-2=0，知
| OP |
| OQ |
综合①②可知
| OP |
| OQ |
点评：本题考查椭圆方程的求法，解题向量的数量积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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