Question

已知f（x）=x²-2x-3，试讨论函数f（5-x²）的单调性．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：令t=5-x²，显然t≤5，且它的对称轴为x=0．根据已知f（x）=x²-2x-3的对称轴为x=1．再分①当 t=5-x²≥1 时、②当 t=5-x²＜1 时两种情况，分别根据f（t）以及函数t的单调性，利用复合函数的单调性规律，求得f（5-x²）的单调性．

解答： 解：令t=5-x²，显然它的对称轴为x=0，且t≤5．
∵已知f（x）=x²-2x-3的对称轴为x=1，
①当 t=5-x²≥1 时，f（t）为增函数，解得-2≤x≤2．
在区间[-2，0）上，函数t是增函数，故函数f（5-x²）是增函数；
在区间[0，2]上，函数t是减函数，故函数f（5-x²）是减函数．
②当 t=5-x²＜1 时，f（t）为减函数，解得x＜-2，或x＞2．
在区间（-∞，-2）上，函数t是增函数，故函数f（5-x²）是减函数．
在区间（2，+∞）上，函数t是减函数，故函数f（5-x²）是增函数．
综上可得，函数f（5-x²）的增区间为[-2，0）、（2，+∞），
减区间为[0，2]、（-∞，-2）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．