Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左顶点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，2），则双曲线的焦距为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可．

解答： 解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点（-a，0）与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的距离为4，
∴

p

2

+a=4，
双曲线的一条渐近线的方程是y=-

b

a

x，而抛物线的准线方程为x=-

p

2

，
∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，2），
∴2=

2b

a

，

p

2

=2，
∴p=4，a=b=2，
∴c=

a2+b2

=2

2

∴2c=4

2

，
故双曲线的焦距为4

2

．
故答案为：4

2

．

点评：本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，2）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．