Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

（n∈N^*）．
（1）求证：

1

2

≤a_n＜1；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：当n≥2时，|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|＜

n-1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由完全平方差公式得an=

2an-1

an-12+1

≤1，由a1=

1

2

，得a_n≠1，从而a_n＜1，由

an

an-1

=

2

an-12+1

＞1，得

1

2

≤a_n＜1．
（2）由

1

2

≤a_n＜1，得|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|＜|（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+

1 2 + 1 2 +…+ 1 2

n-1个

），由此能证明当n≥2时，|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|＜

n-1

2

．

解答： （1）证明：∵an-12+1-2an-1=（a_n-1-1）²≥0，
a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

（n∈N^*），
∴an=

2an-1

an-12+1

≤1
若a_n=1，则a_n-1=1，
∵a1=

1

2

，∴a_n≠1，∴a_n＜1，
∵a_n-1＜1，∴

an

an-1

=

2

an-12+1

＞1，
∴{a_n}是增数列，∴

1

2

≤a_n＜1．
（2）证明：∵

1

2

≤a_n＜1，
∴当n≥2时，|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|
＜|（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+

1 2 + 1 2 +…+ 1 2

n-1个

）|
=|（a₂+a₃+…+a_n）-

n-1

2

|
＜|

1+1+…+1

n-1个

-

n-1

2

|=

n-1

2

．
∴当n≥2时，|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|＜

n-1

2

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的单调性和放缩法的合理运用．