Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA=SC=2a，SB=SD=

2

a，点E是SC上的点，且SE=λa（0＜λ≤2）．
（1）求证：对任意的λ∈（0，2]，都有BD⊥AE；
（2）若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结BD，AC，设BD与AC交于O，由已知得BD⊥AC，BD⊥SO，由此能证明BD⊥面SAC，从而BD⊥AE．
（2）取SC的中点F，连结OF，OE，则SA∥OF，从而OF与平面EDB所成的角就是SA与平面EDB所成的角，进而∠EOF为所求角，由此能求出直线SA与平面BED所成角．

解答： （1）证明：连结BD，AC，设BD与AC交于O． （1分）
由底面是菱形，得BD⊥AC，（2分）
∵SB=SD，O为BD中点，∴BD⊥SO，（3分）
又AC∩SO=O，∴BD⊥面SAC，（4分）
又AE?面SAC，∴BD⊥AE．（5分）
（2）解：取SC的中点F，连结OF，OE，
∴SA∥OF，∴OF与平面EDB所成的角就是SA与平面EDB所成的角，（6分）
∵SC⊥平面BED，∴FE⊥面BED，E为垂足，∴∠EOF为所求角，（7分）
在等腰△CSB中，SC=BC=2a，SB=

2

a，得底边SB上的高为CH=

7 2

a，
∴SC•BE=SB•CH，∴BE=

2 a• 7 2 a

2a

=

7

2

a，（9分）
∴在Rt△BES中，SE=

2a2- 7 4 a2

=

1

2

a，
∴EF=a-

1

2

a=

1

2

a，（10分）
在Rt△FEO中，OF=a，∴sin∠EOF=

EF

OF

=

1

2

，（11分）
即直线SA与平面BED所成角为

π

6

．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．