Question

若不等式

3x2+2x+2

x2+x+1

≤k的解集是空集，则正整数k的取值集合为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：根据不等式的解集是空集，转化为一元二次不等式，进行求解即可．

解答： 解：不等式

3x2+2x+2

x2+x+1

≤k的解集是空集，
等价为3x²+2x+2≤k（x²+x+1），
即（3-k）x²+（2-k）x+2-k≤0的解集是空集，
若k=3，不等式等价为x≥1，此时不满足条件．
若3-k＜0，即k＞3，不等式（3-k）x²+（2-k）x+2-k≤0的解集不是空集，不满足条件，
若3-k＞0，即k＜3，若（3-k）x²+（2-k）x+2-k≤0的解集是空集，
则等价为判别式△=（2-k）²-4（3-k）（2-k）=（2-k）（3k-10）＜0，
解得k＞

10

3

或k＜2，
∵k＜3，
∴k＜2，
∵k是正整数，
∴k=1，
故答案为：{1}

点评：本题主要考查不等式的求解，根据不等式的解集，转化为不等式恒成立是解决本题的关键．