Question

己知函数f（x）=

3

sinxcosx+sin²x+

1

2

（x∈R）
（1）当x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=2，若向量

m

=（1，a）与向量

n

=（2，b）共线，求a，b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式f（x）=sin（2x-

π

6

）+1，然后，结合x∈[-

π

12

，

5π

12

]，利用三角函数的单调性求解最大值和最小值；
（2）首先，求解C的大小，然后，利用共线的条件得到b=2a，再结合余弦定理求解即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

3

sinxcosx+sin²x+

1

2

（x∈R）
∴f（x）=

3

2

sin2x

1-cps2x

2

+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1
=sin（2x-

π

6

）+1，
∵-

π

12

≤x≤

5π

12

，
∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2z-

π

6

）≤1，
从而1-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）+1≤2，
则f（x）的最小值是1-

3

2

，最大值是2；
（2）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）+1=2，则sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

．
∵向量

m

=（1，a）与向量

n

=（2，b）共线，
∴b-2a=0，
即b=2a　　 ①
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcos

π

3

，
即a²+b²-ab=3　　②
由①②解得a=1，b=2．

点评：本题综合考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，向量共线的条件，余弦定理等知识点，考查比较综合，属于中档题．