Question

投掷质地均匀的红、蓝两颗骰子，观察出现的点数，并记红色骰子出现的点数为m，蓝色骰子出现的点数为n．试就方程组

x+2y=2 mx+ny=3

解答下列问题．
（Ⅰ）求方程组只有一个解的概率；
（Ⅱ）求方程组只有正数解的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，事件（m，n）的基本事件有36个，方程组只有一个解，需满足2m-n≠0，即n≠2m，而n=2m的事件有（1，2），（2，4），（3，6）共3个，根据古典概型概率公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个古典概型，事件（m，n）的基本事件有36个，方程组只有正数解整理出结果，列举出所有满足条件的事件，根据概率公式得到结果．

解答： 解：（1）由题意知本题是一个古典概型，事件（m，n）的基本事件有36个，
由方程组

x+2y=2 mx+ny=3

可得

(2m-n)x=6-2n (2m-n)y=2m-3

方程组只有一个解，需满足2m-n≠0，
即n≠2m，而n=2m的事件有（1，2），（2，4），（3，6）共3个，
所以方程组只有一个解的概率为P₁=1-

3

36

=

11

12

．
（2）方程组只有正数解，需2m-n≠0且

x= 6-2n 2m-n ＞0 y= 2m-3 2m-n ＞0

．
即

2m＞n a＞ 3 2 b＜3

或

2m＜n a＜ 3 2 b＞3

其包含的事件有13个：（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），
（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（1，5），（1，6）．
∴所求的概率为

13

36

．

点评：本题考查古典概型，考查解方程组，是一个综合题，概率问题往往同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点．