Question

如图，设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，顶点M、N的距离为

5

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点．
（ⅰ）试判断点O到直线AB的距离是否为定值．若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
（ⅱ）求|AB|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用e=

3

2

得

c

a

=

3

2

，由顶点M、N的距离为

5

，得a²+b²=5，由a²=b²+c²，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）分类讨论，直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，整理得5m²=4（1+k²），即可得出结论；
（ⅱ）在Rt△AOB中，d|AB|=|OA||OB|，利用基本不等式，即可求|AB|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

3

2

得

c

a

=

3

2

由顶点M、N的距离为

5

，得a²+b²=5，
又由a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）（ⅰ）点O到直线AB的距离为定值
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线AB的斜率不存在时，则△AOB为等腰直角三角形，不妨设直线OA：y=x
将y=x代入

x2

4

+y2=1，解得x=±

2 5

5

，
∴点O到直线AB的距离为d=

2 5

5

；
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
代入椭圆方程，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
∴（1+k²）

4m2-4

1+4k2

+km•（-

8km

1+4k2

）+m²=0，
整理得5m²=4（1+k²），
∴点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

，
综上可知点O到直线AB的距离为定值

2 5

5

；
（ⅱ）在Rt△AOB中，d|AB|=|OA||OB|．
∵2|OA||OB|≤|OA|²+|OB|²=|AB|²，
∴|AB|²≥2d|AB|，
∴|AB≥2d=

4 5

5

，当|OA|=|OB|时取等号，即|AB|的最小值是

4 5

5

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识，要熟练掌握．