题目内容
设p：“a＞3”q：“f（x）=x3-ax2+1在（0，2）上有唯一零点”，则p是q的（ ）
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：导数的综合应用
分析：利用导数研究函数f（x）的单调性，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
解答：
解：若a＞3，则f′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a）=3x（x-
a），
∴f′（x）＜0，
即函数函数f（x）=x3-ax2+1 在（0，2）上单调递减，
而f（0）=1＞0，f（2）=8-4a+1=9-4a＜0，
∴函数f（x）=x3-ax2+1 在（0，2）上零点有一个．
当a=3时，f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），
则当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1＞0，
当x=2时，函数f（x）取得极小值f（2）=-3＜0，
且函数f（x）在（0，2）上单调递减，满足f（x）=x3-3x2+1在（0，2）上有唯一零点，但a＞3不成立．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
| 2 |
| 3 |
∴f′（x）＜0，
即函数函数f（x）=x3-ax2+1 在（0，2）上单调递减，而f（0）=1＞0，f（2）=8-4a+1=9-4a＜0，
∴函数f（x）=x3-ax2+1 在（0，2）上零点有一个．
当a=3时，f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），
则当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1＞0，
当x=2时，函数f（x）取得极小值f（2）=-3＜0，
且函数f（x）在（0，2）上单调递减，满足f（x）=x3-3x2+1在（0，2）上有唯一零点，但a＞3不成立．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数单调性和导数之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，
=ax，
+
=
，则关于x的方程abx2+
x+
=0(b∈(0，1))有两个不同实根的概率为（ ）
| f(x) |
| g(x) |
| f(1) |
| g(1) |
| f(-1) |
| g(-1) |
| 5 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A、18
| ||
B、36
| ||
C、12
| ||
D、24
|
已知O是△ABC所在平面内一点，且2
+
+
=0，则△ABO与△ABC的面积之比为（ ）
| OA |
| OB |
| OC |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图，设椭圆C：一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）
A、1-
| ||
B、1-
| ||
C、
| ||
D、
|