Question

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为

2

7

，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求乙取到白球的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，由题意知

1

7

=

C 2 n

C 2 7

，求出黑球有4个，白球有3个．由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．
（Ⅱ）由乙后取，知乙只有可能在第二次，第四次取球，由此能求出乙取到白球的概率．

解答： 解：（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，
由题意知

1

7

=

C 2 n

C 2 7

…（1分）
=

n(n-1) 2

7×6 2

=

n(n-1)

7×6

，
解得n=4或n=-3（舍去） …（3分）
∴黑球有4个，白球有3个．
由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5…（4分）
P(ξ=1)=

3

7

；P(ξ=2)=

4×3

7×6

=

2

7

，
P(ξ=3)=

4×3×3

7×6×5

=

6

35

，
P(ξ=4)=

4×3×2×3

7×6×5×4

=

3

35

，
P(ξ=5)=

4×3×2×1×3

7×6×5×4×3

=

1

35

…（7分）（错一个扣一分，最多扣3分）
∴ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4	5
P	3 7	2 7	6 35	3 35	1 35

…（8分）
所以数学期望为：Eξ=

3

7

+2×

2

7

+3×

6

35

+4×

3

35

+5×

1

35

=2…（9分）
（Ⅱ）∵乙后取，
∴乙只有可能在第二次，第四次取球，
记乙取到白球为事件A，
则P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=

2

7

+

3

35

=

13

35

，…（11分）
答：乙取到白球的概率为

13

35

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．