Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列．
（1）求椭圆的离心率
（2）若直线l与此椭圆相交于A，B两点，且AB中点M为（-2，1），|AB|=4

3

，求直线l的方程和椭圆方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出c，2c，

a2

c

+c成等差数列，从而得到a²=2c²，由此能求出椭圆的离心率．
（2）由a²=2c²，求出a²=2b²，设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，由此利用点差法能求出直线l的方程和椭圆方程．

解答： 解：（1）∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∵左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，
∴c，2c，

a2

c

+c成等差数列，
∴4c=c+

a2

c

+c，∴a²=2c²，∴a=

2

c，
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

c

2 c

=

2

2

．
（2）∵a²=2c²，
∴a²=2（a²-b²），∴a²=2b²，
∴椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB中点M为（-2，1），
∴x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
分别把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆

x2

2b2

+

y2

b2

=1，得：

x12

2b2

+

y12

b2

=1，①，

x22

2b2

+

y22

b2

=1，②
①-②，得

x12-x22

2b2

+

y12-y22

b2

=0，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-4（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直线l的方程为y-1=x+2，整理，得：x-y+3=0．
联立

x-y+3=0 x2 2b2 + y2 b2 =1

，消去y，并整理，得：x²+2（x+3）²-2b²=0
∴3x²+12x+18-2b²=0，
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=

18-2b2

3

，
∵|AB|=4

3

，
∴|AB|=

(1+1)[(-4)2-4× 18-2b2 3 ]

=4

3

，
解得b²=12，
∴椭圆方程为

x2

24

+

y2

12

=1，直线l的方程为x-y+3=0．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．