Question

已知函数f（x）=e^x（x²-x+1）-m，若?a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（1，

  3

  e

  ）
• C、（1，e³）
• D、（-∞，1）∪（e³，+∞）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的极大值为

3

e

，极小值为1，再根据函数f（x）的图象和直线y=m有3个交点，数形结合，从而求得m的范围．

解答： 解：因为f′（x）=（x²-x+1）•e^x+（2x-1）•e^x
=x（x+1）•e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞0，或x＜-1；由f′（x）＜0
⇒-1＜x＜0，
所以f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上单调递增，
在（-1，0）上单调递减，
∴函数f（x）的极大值为f（-1）=

3

e

，极小值为f（0）=1．
由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=m有3个交点，
如图所示：
故有 1＜m＜

3

e

，
故选：B．

点评：本题主要考查函数的零点个数的判断，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的极值，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．