Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，

3

）、（0，-

3

）的距离之和等于4．设点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时

OA

⊥

OB

？此时|

AB

|的值是多少？

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接利用椭圆的定义求得椭圆的方程；
（2）联立直线好椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，由

OA

⊥

OB

得两向量的数量积为0，由此列式求得k的值，然后利用弦长公式求得|

AB

|的值．

解答： 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-

3

），（0，

3

）为焦点，长半轴为a=2的椭圆，
它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，
故曲线C的方程为x²+

y2

4

=1．
（2）由

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
△=（2k）²-4×（k²+4）×（-3）=16（k²+3）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

．
由时

OA

⊥

OB

，得x₁x₂+y₁y₂=0，
而y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=

-4k2+1

k2+4

．
由

-4k2+1

k2+4

=0，得k=±

1

2

．
此时x1+x2=-

4

17

或

4

17

，x1x2=-

12

17

．
∴|

AB

|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

42 172 +4× 12 17

=

4 65

17

．

点评：本题考查了椭圆轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用转化为方程的根与系数关系解题，是压轴题．