Question

已知等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+log₂a_n，S_n为数列{b_n}的前n项和，求使S_n-2ⁿ⁺¹-8≤0成立的n的取值集合．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：综合题

分析：（1）利用等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，建立方程，求出q，a₁，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用分组求和，再解不等式，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵a₃+2是a₂和a₄的等差中项，∴2（a₃+2）=a₂+a₄
∵2a₁+a₃=3a₂，∴q=2（q=1舍去），a₁=2
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ…．（6分）
（2）b_n=a_n+log₂a_n=2ⁿ+n．…（7分）
所以S_n=（2+4+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）=

2(1-2n)

1-2

+

n(1+n)

2

=2ⁿ⁺¹-2+

1

2

n+

1

2

n2 …．（10分）
因为S_n-2ⁿ⁺¹-8≤0，所以n²+n-20≤0
解得-5≤n≤4，故所求的n的取值集合为{1，2，3，4}…．（12分）

点评：本题考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题．