Question

如图，已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且

BF

=3

FD

，则椭圆C的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|

FD

|的值，又由

BF

=3

FD

建立关于a、c的方程，解方程求出

c

a

的值．

解答： 解：如图，BF=

b2+c2

=a，
作DD₁⊥y轴于点D₁，则由

BF

=3

FD

得：

| OF |

| DD1 |

=

| BF |

| BD |

=

3

4

，
所以，|

DD1

|=

4

3

|

OF

|=

4

3

c，
即x_D=

4

3

c，
由椭圆的第二定义得|

FD

|=e（

a2

c

-

4

3

c）=a-

4c2

3a

，
又由|

BF

|=3|

FD

|，得a=3（a-

4c2

3a

），a²=2c²，解得e=

c

a

=

2

2

，
故答案为：

2

2

点评：本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．