Question

16．如图1，由正四棱锥P-ABCD和正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁所组成的几何体的三视图如图2．
（1）求证：PC⊥平面A₁BD；
（2）求点P到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AC交BD于O，并连接PO、A₁O．利用正四棱锥P-ABCD，可得PC⊥BD．利用勾股定理的逆定理可得：PA⊥PC．利用三视图可得：四边形POA₁A为平行四边形，可得OA₁⊥PC，即可证明：PC⊥平面A₁BD．
（2）由（1）知PA∥OA₁，故点P到平面A₁BD的距离即为点A到平面A₁BD的距离，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 （1）证明：如图，连接AC交BD于O，并连接PO、A₁O．
∵正四棱锥P-ABCD，∴PC⊥BD，
又由三视图知，$PO=\sqrt{2}$，AB=BC=2，∴$AC=2\sqrt{2}$，
∴PA⊥PC，
又易知$PO=A{A_1}=\sqrt{2}$且PO∥AA₁，∴四边形POA₁A为平行四边形，
∴PA∥OA₁，故OA₁⊥PC，
又OA₁∩BD=O，
因此PC⊥平面A₁BD．
（2）解：由（1）知PA∥OA₁，故点P到平面A₁BD的距离即为点A到平面A₁BD的距离，
又易知平面AA₁O⊥平面A₁BD，且平面AA₁O∩平面A₁BD=A₁O，
故过A作AE⊥A₁O，垂足为E，则AE⊥平面A₁BD，AE即为点A到平面A₁BD的距离，
又由已知，$AO=A{A_1}=\sqrt{2}$，∴A₁O=2，∴$AE=\frac{{AO•A{A_1}}}{{{A_1}O}}=1$，
因此点P到平面A₁BD的距离为1．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定及其性质定理、勾股定理的逆定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．