已知函数f(x)=msinx+ncosx.且$f$是它的最大值(其中m.n为常数.且mn≠0).给出下列命题:①$f$为偶函数 ②函数f(x)的图象关于点$$对称③$f$是函数f(x)的最小值 ④函数f(x)的图象在y轴右侧与直线$y=\frac{m}{2}$的交点按横坐标从小到大依次记为P1.P2.P3.P4.-.则|P2P4|=π,则正确的命题个数为( )A．1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知函数f（x）=msinx+ncosx，且$f（\frac{π}{4}）$是它的最大值（其中m，n为常数，且mn≠0），给出下列命题：
①$f（x+\frac{π}{4}）$为偶函数
②函数f（x）的图象关于点$（\frac{7π}{4}，0）$对称
③$f（-\frac{3π}{4}）$是函数f（x）的最小值
④函数f（x）的图象在y轴右侧与直线$y=\frac{m}{2}$的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，P₄，…，则|P₂P₄|=π；
则正确的命题个数为（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

分析由题意可得f（x）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$），对于①，由于 f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$cosx，是偶函数，故①正确．
对于②，由于当x=$\frac{7π}{4}$时，f（x）=0，故②正确．
对于③，由于 f（-$\frac{3π}{4}$）=-$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，是函数f（x）的最小值，故③正确．
对于④，由题意可得，|P₂P₄|等于一个周期2π，故 ④不正确．

解答解：由于函数f（x）=msinx+ncosx=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+∅），且f（$\frac{π}{4}$）是它的最大值，
∴$\frac{π}{4}$+∅=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，∴∅=2kπ+$\frac{π}{4}$，∴tan∅=$\frac{n}{m}$=1．
∴f（x）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+2kπ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$ ）．
对于①，由于 f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$cosx，是偶函数，故①正确．
对于②，由于当x=$\frac{7π}{4}$时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点（$\frac{7π}{4}$，0）对称，故②正确．
对于③，由于 f（-$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（-$\frac{π}{2}$ ）=-$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，是函数f（x）的最小值，故 ③正确．
对于④，函数f（x）的图象即把函数 y=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sinx的图象向左平移$\frac{π}{4}$ 个单位得到的，故|P₂P₄|等于一个周期2π，故 ④不正确．
故选：C．

点评本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，得到 f（x）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sin（x+$\frac{π}{4}$ ），是解题的关键，属于中档题．