Question

4．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|，其中a为实常数．
（1）若函数f （x）的最小值为3，求a的值；
（2）若当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤|x-4|恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的最小值，得到|a+2|=3，解出a的值即可；
（2）问题转化为|x+a|≤2，求出x的范围，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-2|+|x+a|≥|（x-2）-（x+a）|=|a+2|，
当且仅当（x-2）（x+a）≤0时取等号，
∴f（x）_min=|a+2|，
由|a+2|=3，解得：a=1或a=-5；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=|x+a|+2-x=
而|x-4|=-x+4，
由|x-4|≥f（x）恒成立，
得-x+4≥-x+2+|x+a|，
即|x+a|≤2，解得：-2-a≤x≤2-a，
由题意得[1，2]⊆[-2-a，2-a]，
则$\left\{\begin{array}{l}{2-a≥2}\\{-2-a≤1}\end{array}\right.$，即-3≤a≤0．
∴a的取值范围[-3，0]

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查了分类讨论思想，是一道中档题．