Question

11．已知F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B，则下列各式为定值的是（　　）

• A． |AF|+|BF|
• B． |AF|•|BF|
• C． |BF|²+|AF|²
• D． $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$

Answer 1

分析 设过焦点F的直线方程与y²=2px联立，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 设解：过焦点F的直线方程为 y=k（x-$\frac{p}{2}$），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=k（x-$\frac{p}{2}$）与y²=2px联立消y得k²（x-$\frac{p}{2}$）²=2px，
∴k²x²-（k²p+2p）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴|FA|=x₁+$\frac{p}{2}$，|FB|=x₂+$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{（{x}_{1}+\frac{p}{2}）（{x}_{2}+\frac{p}{2}）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{2}{p}$．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的性质和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．