Question

5．已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，a、b、c所对的角依次为A、B、C．则sinB+cosB的取值范围是（　　）

• A． $（1\;，\;\;1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• B． $[\frac{1}{2}\;，\;\;1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• C． $（1\;，\;\;\sqrt{2}]$
• D． $[\frac{1}{2}\;，\;\;\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 由△ABC的三边长a、b、c成等比数列，可得b²=ac．可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，利用基本不等式的性质可得B的取值范围，进而可求B+$\frac{π}{4}$的范围，利用两角和的正弦函数公式化简可得sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：∵△ABC的三边长a、b、c成等比数列，
∴b²=ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=c时取等号．
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
∴可得：B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的性质、余弦定理、基本不等式的性质、三角函数求值，正弦函数的图象和性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．