Question

13．已知正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），b_n=$\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$，记数列{b_n}的前n项和为S_n，则S₃₃的值是（　　）

• A． $\sqrt{99}$
• B． $\sqrt{33}$
• C． $4\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），可得数列$\{{a}_{n}^{2}\}$为等差数列，进而定点b_n=$\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{3}（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）$，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），
∴数列$\{{a}_{n}^{2}\}$为等差数列，首项为1，公差为2²-1=3．
∴${a}_{n}^{2}$=1+3（n-1）=3n-2．a_n＞0．
∴a_n=$\sqrt{3n-2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{3n-2}+\sqrt{3n+1}}$=$\frac{1}{3}（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{3}[（\sqrt{4}-\sqrt{1}）$+$（\sqrt{7}-\sqrt{4}）$+…+$（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）]$
=$\frac{1}{3}（\sqrt{3n+1}-1）$．
则S₃₃=$\frac{1}{3}（\sqrt{100}-1）$=3．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．