Question

设函数f(x)=

x-a

（a∈R）．若方程f（f（x））=x有解，则a的取值范围为（　　）

• A、(-∞，

  1

  4

  ]
• B、(0，

  1

  8

  ]
• C、(-∞，

  1

  8

  ]
• D、[1，+∞）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：设f（x）=t，则方程等价为f（t）=x，根据条件将方程转化为含有x的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质进行求解即可．

解答： 解：设f（x）=t，t≥0，则方程f（f（x））=x等价为f（t）=x，
即

x-a =t t-a =x

，
∴t=x，
即f（x）=x，
∴

x-a

=x在x≥0时有解，
即x-a=x²，
∴a=-x²+x在x≥0时成立，
设g（x）=-x2+x=-(x2-x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，
∵x≥0
∴当x=

1

2

时，g（x）取得最大值

1

4

，
∴g（x）≤

1

4

，
即a≤

1

4

，
故选：A．

点评：本题主要考查方程有解的判断，利用换元法将方程进行转化，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．