Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=（

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2

）^x，函数f（x）的值域为集合A．
（1）求f（-1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）设函数g（x）=

-x2+(a-1)x+a

的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由偶函数的定义可得f（-1）=f（1），再根据x≥0时，f（x）=（

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）^x，求得结果．
（2）设x＜0，则-x＞0，再根据x≥0时，f（x）=（

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）^x，以及函数为偶函数求得f（x）的解析式，从而求得f（x）在R上的解析式．
（3）由（2）求得A=（0，1]．再由函数g（x）的解析式可得-（x-a）（x+1）≥0．分类讨论结合A⊆B，可得a的范围．

解答： 解：（1）由偶函数的定义可得f（-1）=f（1）=(

1

2

)1=

1

2

．
（2）设x＜0，则-x＞0，再根据x≥0时，f（x）=（

1

2

）^x，
可得 f（-x）=(

1

2

)-x=2^x．
综上可得，f（x）=

( 1 2 )x ， x≥0 2x  ， x＜0

．
（3）由（2）可得函数f（x）的值域A=（0，1]．
函数g（x）=

-x2+(a-1)x+a

=

-(x-a)(x+1)

，可得-（x-a）（x+1）≥0．
当a＜-1时，g（x）的定义域为B=（a，-1），再由A⊆B，可得a∈∅．
当a＞-1时，g（x）的定义域为B=（-1，a），再由A⊆B，可得a＞1．
当a=-1时，B={-1}，不满足A⊆B．
综上可得，a的范围为（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，求函数的解析式，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．