Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x），其中a＞0，且a≠1．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f(

1

2

)=1，解不等式f（x）＜1．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）的解析式求得f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）由f（

1

2

）=1求得 a=

1

3

，不等式化为 log

1

3

1+x

1-x

＜1，故有0＜

1+x

1-x

＜

1

3

，即

-1＜x＜1 4x+2 3(x-1) ＞0

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x），其中a＞0，且a≠1，
∴f（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=-[log_a（1-x）-log_a（1+x）]=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）∵f（

1

2

）=loga

1

2

-loga

3

2

=loga

1

3

=1，
∴a=

1

3

，
不等式f（x）＜1，即 log

1

3

(1+x)-log

1

3

(1-x)=log

1

3

1+x

1-x

＜1，
∴0＜

1+x

1-x

＜

1

3

，
即 

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜ 1 3

，

1+x x-1 ＜0 1+x x-1 ＞- 1 3

，
即

-1＜x＜1 4x+2 3(x-1) ＞0

．
解得-1＜x＜-

1

2

，故不等式的解集为（-1，-

1

2

）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，对数的运算性质、对数不等式、分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．