Question

2．（1）已知a，b，c∈R^*且a+b+c=1，证明：a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$
（2）当x≥4时，证明：$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{x-4}$＜$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$．

Answer 1

分析 （1）利用条件，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论；
（2）分析使不等式$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{x-4}$＜$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．

解答 证明：∵a+b+c=1，
∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$．
（2）当x≥4时，要证$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{x-4}$＜$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$，
两边平方只需证$\sqrt{（x-1）（x-4）}＜\sqrt{（x-2）（x-3）}$，
只需证x²-5x+6＞x²-5x+4，
即证6＞4，
显然上式成立，
所以原不等式成立，即$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{x-4}$＜$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．