Question

11．如图，抛物线C₁：y²=2x和圆C₂：（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$，其中p＞0，直线l经过C₁的焦点，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四点，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|-|BF=x₁+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=x₁，同理|CD|=x₂，由此能够求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$．

解答 解：抛物线C₁：y²=2x的焦点为F（$\frac{1}{2}$，0），
∵直线l经过C₁的焦点F（$\frac{1}{2}，0$），
设直线l的方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{{k}^{2}}{4}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AB|=|AF|-|BF=x₁+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=x₁，
同理|CD|=x₂，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{CD}$|•cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$＞=x₁x₂=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．