Question

12．当x=θ时，函数f（x）=3sinx-cosx取得最小值，则sinθ=$-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知利用两角和的正弦函数公式可求$f（x）=3sinx-cosx=\sqrt{10}sin（x-φ）$，由sin（θ-φ）=-1，可求$θ-φ=-\frac{π}{2}+2kπ$，利用诱导公式即可计算得解．

解答 解：∵$f（x）=3sinx-cosx=\sqrt{10}sin（x-φ）$，其中$cosφ=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，sinφ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
又∵由题sin（θ-φ）=-1，
∴则$θ-φ=-\frac{π}{2}+2kπ$，
∴$sinθ=sin（φ-\frac{π}{2}）=-cosφ=-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．
故答案为：$-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．