Question

在Rt△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=

2

，则

CM

•

CN

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将

CM

•

CN

=2（b-1）²，0≤b≤1，求出范围．

解答： 解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，
则A（2，0），B（0，2），
∴AB所在直线的方程为：

x

2

+

y

2

=1，则y=2-x，
设M（a，2-a），N（b，2-b），且0≤a≤2，0≤b≤2不妨设a＞b，
∵MN=

2

，
∴（a-b）²+（b-a）²=2，
∴a-b=1，
∴a=b+1，
∴0≤b≤1
∴

CM

•

CN

=（a，2-a）•（b，2-b）
=2ab-2（a+b）+4
=2（b²-b+1），0≤b≤1
∴当b=0或b=1时有最大值2；
当b=

1

2

时有最小值

3

2

∴

CM

•

CN

的取值范围为[

3

2

，2]
故答案为[

3

2

，2]

点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．